Funktioner af flere variable - larsen

Pages 37
Views 19

Please download to get full document.

View again

of 37
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Description
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 1. udgave 2014 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende…
Transcript
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 1. udgave 2014 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede kan beregne lokale og globale ekstrema for funktioner af flere variable Forudsætninger: Der forudsættes et kendskab til differentialregning svarende til pensum i matematik på A- niveau (se evt. notatet “Kernestof i Matematik op til A - niveau” der i pdf-format kan findes på adressen www.larsen-net.dk under Matematik 1) Endvidere et elementært kendskab til matricer . Regnemidler: Der bliver i eksemplerne vist, hvorledes man kan foretage beregningerne med programmerne Ti-Nspire og Maple For en mere omfattende gennemgang henvises til lærebogen “Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Matematik for Ingeniører bind 2. Enkelte eksempler er også hentet herfra. (Bøgerne kan findes på ovennævnte adresse) januar 2015 Mogens Oddershede Larsen ii Indhold INDHOLD 1 Optimering for funktion af 1 variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Optimering for funktion af 2 variable 2.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Grafisk fremstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Partiel differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.5 Partielle afledede af højere orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.6 Stationære punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.7 Taylorpolynomium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.9 Globalt ekstrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Optimering for funktion af mere end to variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Usikkerhedsberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fejlvurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Maksimal fejl eller usikkerhed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Statistisk usikkerhed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 20 20 22 5 Grundlæggende operationer med Maple, TI-Nspire og TI89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Stikord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 iii 1 Optimering for funktion af 1 variabel 1 Optimering for funktion af 1 variabel Funktioner af 1 variabel y = f(x), deres graf i et retvinklet koordinatsystem, differentiation, bestemmelse af lokale ekstrema osv. osv. er velkendt. Imidlertid vil vi kort repetere hvorledes man bestemmer ekstrema. Ved et stationært punkt forstås et punkt hvor differentialkvotienten er 0, dvs. hvor tangenten til grafen er vandret. På figur 1.1 er skitseret en funktion, hvor man kan se forskellige stationære punkter. Man kan endvidere bestemme om et stationært punkt er lokalt maksimumspunkt eller minimumspunkt ved at lave en fortegnsdiskussion af f ( x ) (se nederst på figur 1.1) Fig 1.1 Fortegnsdiskussion for f (x) Imidlertid kan man som regel også afgøre arten af et stationært punkt ved at betragte de afledede af 2. orden i punktet. Sætning 1.1 Lad x 0 være et stationært punkt for en funktion f (dvs. f ( x 0 )  0 ). f ( x 0 )  0  x 0 er et lokalt minimumspunkt f ( x 0 )  0  x 0 er et lokalt maksimumspunkt f ( x 0 )  0 nærmere undersøgelse må foretages Begrundelse: Et polynomium af 2. grad som har de samme differentialkvotienter i x0 er f ( x 0 ) f ( x 0 ) y  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x 0 ) (Taylorpolynomium) 1! 1! Approksimeres funktionen med dette polynomium i et stationært punkt, hvor f `(x0) = 0 bliver polynomiet til et andengradspolynomium. Hvis f ( x 0 )  0 vender parablen grenene opad, så der er et minimum x0. Hvis f ( x 0 )  0 vender grenene nedad så der er et maksimum i x0. 1 1. Optimering for funktion af 1 variabel Eksempel 1.1 Find ved hjælp af de anden afledede alle maksimum- og minimumspunkter for funktionen x3 x2 f (x)    6x  2 3 2 Løsning Håndkraft: f ( x )  x 2  x  6 f ( x )  0  x  1  1  4  ( 6) 1 5 x  x  3  x  2 2 2 f ( x )  2 x  1 23  Da f (3)  5  0 har funktionen et lokalt minimum for x = 3 Minimumspunkt  3,   2 28   Da f ( 2 )  5  0 har funktionen et lokalt maksimum for x = -2 Maksimumspunkt  2,   3 TI-Nspire: De anden afledede findes på PC på dokumentværktøjslinien under matematikskabeloner På lommeregner vælges menu , differential-og integralregning, differentialkvotient, Maple Man finder de anden afledede under calculus 2 2.2 Grafisk fremstilling 2 Funktion af 2 variable 2.1 Indledning Vi vil i dette kapitel se på funktioner af 2 variable z = f (x, y), deres graf i et tredimensionalt koordinatsystem, differentiation og bestemmelse af lokale ekstrema. 2.2. Grafisk fremstilling. En funktion af 2 variable z  f ( x , y ) vil grafisk sædvanligvis kunne fremstilles i et rumligt koordinatsystem som en flade med “bakker” og “dale”. På figur 2.1 er der vist en funktion med et lokalt maksimum tegnet ved hjælp af TI-Nspire. Figur 2.1 Graf for funktionen f ( x , y )  100  e  ( x  2 ) 2  2 ( y  2 ) 2  xy Ti-Nspire: Grafer tryk på boksder ligger parralelt med dokumentværktøjslinien funktion Se på figuren ,tryk på højre musetast og ændre indstillinger passende. Vis 3D-graftegning indtast På figur 2.2 er der tegnet en funktion med et saddelpunkt og “højdekurver” tegnet ved hjælp af Maple (disse begreber defineres mere præcist i et senere kapitel Skriv plot3d((x-2)2-(y-3) a href= /cdn-cgi/l/email-protection class= __cf_email__ data-cfemail= ae9c83d6eed7 [email protected] /a +10,x=-5..10,y=-5..10), tryk på figuren og ændre den Højdekurver: 3 2. Funktion af 2 variable Fig. 2.2. Graf for funktionen h( x , y )  ( x  2) 2  ( y  3) 2  xy  10 Sædvanligvis er det alt for besværligt at tegne en rumlig flade, som klart viser hvor der er et minimum- eller et maksimum. Uden de følgende beregninger ved man jo heller ikke hvor et sådant punkt er beliggende. 2.3 Partiel differentiation Hvis man for funktionen z  f ( x , y ) holder y konstant på værdien y 0 , så vil f ( x , y 0 ) være en funktion af én variabel x. Er denne funktion differentiabel, så kan man på sædvanlig måde finde dens aflede funktion.  f ( x , y 0 ) eller f x ( x , y 0 ) . Denne kaldes f’s partielle afledede med hensyn til x og skrives x Tilsvarende defineres f’s partielle afledede  f med hensyn til y . y Tegnet  læses blødt d og markerer, at funktionen har flere variable. Dette indebærer nemlig, at d f ) ikke uden videre kan opfattes som en brøk i beregninger. dx Eksempel 2.1. Partiel differentiation 1 2 2 1 2 1 x y  y  x 4 2 2  f  f a) Find de to partielle afledede og x y Lad funktionen f være givet ved f ( x, y)  b) Find  f  f (0,1) og (0,1) . x y 4  f (i modsætning til x 2.4 Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan Løsning: a) Idet vi opfatter f som en funktion af x alene, dvs. opfatter y som en konstant, fås umiddelbart  f 1 1 ( x, y)  x  y 2  0  2 2  x  f 1 2 Tilsvarende fås  y ( x , y )  2 x  y  y  f  f 1 b) Ved indsættelse af (x,y) = (0.1) fås  x (0,1)  2 og  y (0,1)  1 TI-Nspire og Maple Menuerne er de samme som vist i eksempel 1.1 Såfremt det af sammenhængen klart fremgår, hvilket punkt (x,y) der er tale om, udelades det  f  f ofte af betegnelserne, således at man kun skriver og x y Andre skrivemåder. I stedet for  f x skrives ofte f x eller z når z  f ( x , y ) . x  z  hvor der forneden er angivet, hvad de andre variable er. Eksempelvis kan energien E af en gas   x y Undertiden skrives  enten opfattes som en funktion af tryk og rumfang eller som en funktion af tryk og temperatur. Derfor ville tvetydigt symbol, mens  E   og   P V E være et P  E   er entydige.   PT 2.4. Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan De partielle afledede kan som anskueliggøres i eksempel 2.4 geometrisk tolkes som hældningskoefficienter til tangenter. Eksempel 2.2. Geometrisk betydning af partielle afledede. På fig. 2.3 er tegnet grafen 1 1 1 for f ( x, y)  x 2  y 2  y 2  x 4 2 2 for 0  x  1 og 1  y  2 På figuren er k 1 skæringskurven mellem planen y = 1 og grafen for f mens k 2 er skæringskurven mellem planen x = 0 og grafen for f. Fig. 2.3. De to partielle differentialkvotienter i (0,1) er hældningskoefficienterne for tangenterne Tx og Ty . 5 2. Funktion af 2 variable     f (0,1) er hældningskoefficienten af tangenten Tx til kurven kl for (x,y) = (0,1) x f (0,1) er hældningskoefficienten af tangenten Ty til kurven k2 for (x,y) = (0,1). y Den plan, som er bestemt ved tangenterne Tx og Ty kaldes tangentplanen for grafen for f i punktet (0,1). Tangentplan Lad funktionen f være differentiabel i et punkt ( x 0 , y 0 ) og lad z 0  f ( x 0 , y 0 ) . Lad k 1 være skæringskurven mellem planen y  y 0 og grafen for og Tx være tangenten til k 1 med røringspunkt i ( x 0 , y 0 ) . Tilsvarende er k 2 er skæringskurven mellem planen x  x 0 og grafen for f og Ty er tangenten til k 2 . Fig. 2.4. Tangentplan i ( x 0 , y 0 ) Den plan, som er bestemt ved tangenterne Tx og Ty kaldes tangentplanen for grafen for f i punktet ( x 0 , y 0 ) . Ligningen for tangentplan z  f ( x 0 , y 0 )  Bevis: ' Lad for kortheds skyld f x   f x ( x 0 , y 0 ) og f y'   f  f ( x0 , y0 )  x  x0  ( x , y )  y  y0 x y 0 0      f ( x0 , y0 ) y 1     Da f x er hældningskoefficienten for tangenten Tx til kurven k1 har en retningsvektor for Tx koordinaterne a   0   f   x Tilsvarende 0     er b   1   f   y 1   0           retningsvektor for Ty. En normalvektor til tangentplanen er følgelig a  b   0   1      f   f     x   y  1 Planens ligning bliver derfor  f x  ( x  x0 )  f y  ( y  y0 )  1  ( z  z0 )  0 6 f x   f y    2.5 Partielle afledede af højere orden Eksempel 2.3. Tangentplan 1 2 2 1 2 1 x y  y  x. 4 2 2 Find ligningen for tangentplanen til funktionen f i punktet (0,1). Løsning: 1 1 1  f 1 (0,1)  og I eksempel 1.3 fandt man for funktionen f ( x, y)  x 2  y 2  y 2  x at 4 2 2 2 x 1 1 1 1  f 1 (0,1)  1 . Idet f (0,1)  fås ligningen: z   ( x  0)  1 ( y  1)  z  x  y  2 y 2 2 2 2 Lad der være givet funktionen f ( x, y)  2.5. Partielle afledede af højere orden. Har f partielle afledede af første orden i definitionsmængden D, kan  f  f ( x , y ) og ( x, y) x y igen opfattes som funktioner af to variable i D. Hvis disse nye funktioner selv har partielle afledede, siges f at have partielle afledede af anden orden i D. Disse skrives 2 f   f  2 f   f  2 f   f  2 f   f        , , og       2 2  x  x  y  y   y  x y  x   y  y x  y   x x 2 f 2 f For de to sidste “blandede” afledede gælder, at de “sædvanligvis”1 er ens, dvs.  x  y   y  x Eksempel 2.4. Partielle afledede af anden orden I eksempel 1.3 fandt man for funktionen f ( x, y)  1 2 2 1 2 1 x  y  y  x de partielle afledede 4 2 2  f 1  f 1 1 ( x, y)  x 2  y  y ( x, y)  x  y 2  og 2 2  x y 2 a) Find de partielle afledede af anden orden for funktionen f. b) Find værdierne af ovennævnte partielle afledede i punktet (x,y) = (1,2). Løsning: 2 f   f    1 2 1 1 2   a)    xy    y 2 2  x2  x   x   x  2 2 f   f   1 2      x y  y  x  y    x y  x   y  x 2 2 f   f   1 2  1 2   x y  y      x 1  2  y 2  y  y   y  2 Da de blandede anden aflede er ens, er det unødvendigt at beregne den anden kombination 3 2 f 2 f 2 f (1,2)  2, (1,2 )  , (1,2)  2, b) 2  x y  x2  y2 TI-Nspire+ Maple; som beskrevet i eksempel 1.1 1 Dette gælder for alle funktioner som er dannet af de sædvanlige stamfunktioner 7 2. Funktion af 2 variable Eksempelvis: a) TI-Nspire Maple: b) I Maple vælges symbolikken under “Expression” og “Calculus” Analogt defineres partielle afledede af højere end anden orden, og også for disse kan differentiationernes rækkefølge normalt vælges vilkårligt, f.eks. 3 f 3f 3 f    x  y  x  x2  y  y  x2 2.6. Stationære punkter Lad P0 være et indre punkt i definitionsmængden D for en funktion f og M  D være en omegn af P0 . Hvis f ( P0 )  f ( P) for alle punkter P i M, så kaldes denne værdi for f ‘s lokale minimum, og P0 for et lokalt minimumspunkt. Hvis f ( P0 )  f ( P) for alle punkter P i M, så kaldes denne værdi for f ‘s lokale maksimum, Ved et lokalt ekstremum forstås enten et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Er f ( P0 )  f ( P) for alle punkter P i definitionsmængden D, så kaldes denne værdi for f ‘s globale minimum eller mindsteværdi, og er f ( P0 )  f ( P) for alle punkter P i definitionsmængden D, så kaldes denne værdi for f ‘s globale maksimum eller størsteværdi. Nedenstående figur leder os ind på, at det som et led i ekstremumsbestemmelser kan være nyttigt at se på punkter, hvor grafen har vandret tangentplan - såkaldte stationære (eller kritiske) punkter. Fig 2.5. Stationære punkter På figuren har g vandret tangentplan i x1 , x 2 og x 3 , globalt maksimum i x 3 og globalt minimum i x 4 8 2.6 Stationære punkter For differentiable funktioner af 2 variable vil man derfor se på de punkter hvor funktionen f har vandret tangentplan, dvs. hvor de partielle afledede er 0. Definition af stationært punkt. Lad f være en differentiabel funktion af 2 variable med definitionsmængde D. Et indre punkt ( x 0 , y 0 ) i D kaldes et stationært punkt for f, hvis  f  f ( x0 , y0 )  0  (x , y )  0 x y 0 0 Eksempel 2.5 Stationære punkter. En funktion f er givet ved f ( x , y )  x 4  2 x 2  2 x 2 y  4 2 y 5 Find de stationære punkter for f. Løsning: Håndregning: De stationære punkter for f findes af ligningssystemet  f 4 x 3  4 x  4 xy  0 (1)  x  0     8 2 ( 2)  f  0  2 x  y  0 5    y 10 2 5 x  y  x 2 (3) . 8 4 Indsættelse i ligning(1) giver: 10 4 x 3  4 x  4 x 2  x  0   x 3  4 x  0  x  0  x 2  4  x  0  x  2 8 Af ligning (2) fås y  Tilfælde 1: Indsættes x  0 i ligning (3), fås y=0 Stationært punkt: ( x , y )  0,0 Tilfælde 2: Indsættes x = 2 i ligning (3), fås y = 5 Stationært punkt: ( x , y )  2,5 Tilfælde 2: Stationært punkt: ( x , y )   2,5 Indsættes x = -2 i ligning (3), fås y = 5 TI-Nspire: Hvis der ikke er en eksakt løsning skal man muligvis i stedet bruge nsolve Maple: ( x , y )  ( 0,0 )  ( x , y )  ( 2,5)  ( x , y )  ( 2,5) 9 2. Funktion af 2 variable 2.7. Taylorpolynomium Skal man skaffe sig et overblik over en funktions udseende , kan det være nødvendigt at se på kende arten af de stationære punkter, dvs. vide om de er lokale maksima, minima eller såkaldte saddelpunkter. Som for en funktion af 1 variabel kunne vi bestemme arten af det stationære punkt ved at tilnærme funktionen med et andengradspolynomium . Den samme teknik benyttes nu ved at tilnærme en funktion i 2 variable med et andengradspolynomium, som har samme partielle afledede af første- og anden-orden som funktionen i et punkt (a,b) . Taylorpolynomium af 2. orden Definition Lad en funktion f(x,y) have kontinuerte partielle afledede af vilkårlig orden i et punkt (x0,y0). Idet de partielle afledede i punktet kort skrives f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) , f xx ( x 0 , y 0 ) , f yy  ( x 0 , y 0 ) , f xy ( x 0 , y 0 ) forstås ved et Taylorpolynomium af anden orden polynomiet T(x,y) = f ( x 0 , y 0 ) +    1 f x ( x 0 , y 0 )  ( x  x 0 )  f y ( x 0 , y 0 )  ( y  x 0 ) 1!  1 f xx ( x 0 , y 0 )  ( x  x 0 ) 2  2  f xy ( x 0 , y 0 )  ( x  x 0 )  ( y  y 0 )  f yy  ( x 0 , y 0 )  ( y  y 0 ) 2 2!  Det ses umiddelbart ved differentiation, at f(x,y) og T(x,y) har samme partielle afledede af anden orden. Er (x0,y0) et stationært punkt går Taylorpolynomiet over i T(x,y) = f ( x 0 , y 0 )   1 f xx ( x 0 , y 0 )  ( x  x 0 ) 2  2  f xy ( x 0 , y 0 )  ( x  x 0 )  ( y  y 0 )  f yy ( x 0 , y 0 )  ( y  y 0 ) 2 2! Eksempel 2 .6 Taylorpolynomium I eksempel 2.5 fandt vi, at funktionen f ( x , y )  x 4  2 x 2  2 x 2 y  4 2 y havde de stationære 5 punkter (0,0) og (2;5) og (-2,5) Idet de anden afledede er f xx  12 x 2  4  4 y , nr f f xx f xy f yx  4 x , f yy  f yy  Taylorpolynomium 8 , fås 5 1 (0,0) 0 4 0 8 5 T(x,y)= 4 x 2  2 (2,5) 4 32 -8 8 5 8 T(x,y) = 4  32( x  2) 2  8( x  2)( y  5)  ( y  2) 2 5 3 (-2,5) 4 32 8 8 5 8 T(x,y) = 4  32( x  2) 2  8( x  2)( y  5)  ( y  2 ) 2 5 10 8 xy 5  2.8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt 2.8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt Hvis man er så heldig, at den blandede anden afledede er 0, kan man umiddelbart bestemme om det stationære punkt er et lokalt maksimum, minimum eller et saddelpunkt. Havde eksempelvis polynomiet været T(x,y) = 10 + a href= /cdn-cgi/l/email-protection class= __cf_email__ data-cfemail= e7d4a7 [email protected] /a (x-2)2+ a href= /cdn-cgi/l/email-protection class= __cf_email__ data-cfemail= 556015 [email protected] /a (y+1)2 kan vi ved at sætte x1= x-2 y1= y+1 og z =T(x,y) - 10 omskrive polynomiet til z  3  x12  5  y12 Heraf ses, at da de to parabler vender grenene opad, så har funktionen minimum i (2,-1) Analogt ses, at hvis polynomiet har negative koefficienter har funktionen et maksimum i det stationære punkt. Endelig ses, at hvis det koefficienterne har forskelligt fortegn, så vil den ene parabel vende grenene opad og d
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks
SAVE OUR EARTH

We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

More details...

Sign Now!

We are very appreciated for your Prompt Action!

x